AATA Estructura de Cuerpos Finitos

Sección22.1Estructura de Cuerpos Finitos

Recuerde que un cuerpo $F$ tiene característica $p$ si $p$ es el menor entero positivo tal que para cada elemento no nulo $\alpha$ en $F\text{,}$ tenemos $p \alpha = 0\text{.}$ Si no hay tal entero, entonces $F$ tiene característica 0. Del Teorema 16.19 sabemos que $p$ debe ser primo. Supongamos que $F$ es un cuerpo finito con $n$ elementos. Entonces $n \alpha = 0$ para todo $\alpha$ en $F\text{.}$ En consecuencia, la característica de $F$ debe ser $p\text{,}$ con $p$ un primo que divide a $n\text{.}$ Esta discusión se resume en la siguiente proposición.

Proposición22.1

Si $F$ es un cuerpo finito, entonces la característica de $F$ es $p\text{,}$ con $p$ primo.

En todo este capítulo supondremos que $p$ es un primo a menos que indiquemos lo contrario.

Proposición22.2

Si $F$ es un cuerpo finito de característica $p\text{,}$ entonces el orden de $F$ es $p^n$ para algún $n \in {\mathbb N}\text{.}$

Demostración

Sea $\phi : {\mathbb Z} \rightarrow F$ el homomorfismo de anillos definido por $\phi(n) = n \cdot 1\text{.}$ Como la característica de $F$ es $p\text{,}$ el núcleo de $\phi$ debe ser $p {\mathbb Z}$ y la imagen de $\phi$ debe ser un subcuerpo de $F$ isomorfo a ${\mathbb Z}_p\text{.}$ Denotaremos este subcuerpo por $K\text{.}$ Como $F$ es un cuerpo finito, debe ser una extensión finita de $K$ y, por lo tanto, una extensión algebraica de $K\text{.}$ Supongamos que $[F : K] = n$ es la dimensión de $F\text{,}$ donde $F$ es un $K$ espacio vectorial. Deben existir elementos $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F$ tales que cualquier elemento $\alpha$ en $F$ pueda ser escrito de una única manera en la forma

\begin{equation*} \alpha = a_1 \alpha_1 + \cdots + a_n \alpha_n, \end{equation*}

donde los $a_i$ están en $K\text{.}$ Como hay $p$ elementos en $K\text{,}$ hay $p^n$ combincaciones lineales posibles de los $\alpha_i\text{.}$ Por lo tanto, el orden de $F$ debe ser $p^n\text{.}$

Lema22.3El sueño del Pibe

Sea $p$ un primo y sea $D$ un dominio integral de característica $p\text{.}$ Entonces

$\begin{equation*} a^{p^n} + b^{p^n} = (a + b)^{p^n} \end{equation*}$

para todo entero positivo $n\text{.}$

Demostración

Procederemos por inducción en $n\text{.}$ Podemos usar la fórmula del binomio (vea el Capítulo 2, Ejemplo 2.4) para verificar el caso $n = 1\text{;}$ es decir,

\begin{equation*} (a + b)^p = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} a^k b^{p - k}. \end{equation*}

Si $0 \lt k \lt p\text{,}$ entonces

\begin{equation*} \binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p - k)!} \end{equation*}

debe ser divisible por $p\text{,}$ pues $p$ no puede dividir a $k!(p - k)!\text{.}$ Note que $D$ es un dominio integral de característica $p\text{,}$ así es que todos los términos de la suma, salvo el primero y el último son cero. Por lo tanto, $(a + b)^p = a^p + b^p\text{.}$

Ahora supongamos que el resultado se cumple para todo $k\text{,}$ con $1 \leq k \leq n\text{.}$ Por la hipótesis de inducción,

\begin{equation*} (a + b)^{p^{n + 1}} = ((a + b)^p)^{p^{n}} = (a^p + b^p)^{p^{n}} = (a^p)^{p^{n}} + (b^p)^{p^{n}} = a^{p^{n + 1}} + b^{p^{n + 1}}. \end{equation*}

Por lo tanto, el lema es verdadero para $n + 1$ y la demostración está completa.

Sea $F$ un cuerpo. Un polinomio $f(x) \in F[x]$ de grado $n$ es separable si tiene $n$ raíces distintas en el cuerpo de descomposición de $f(x)\text{;}$ es decir, $f(x)$ es separable cuando se factoriza en factores lineales distintos sobre el cuerpo de descomposición de $f\text{.}$ Una extensión $E$ de $F$ es una extensión separable de $F$ si todo elemento en $E$ es la raíz de un polinomio separable en $F[x]\text{.}$

Ejemplo22.4

El polinomio $x^2 - 2$ es separable sobre ${\mathbb Q}$ pues se factoriza como $(x - \sqrt{2}\, )(x + \sqrt{2}\, )\text{.}$ De hecho, ${\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )$ es una extensión separable de ${\mathbb Q}\text{.}$ Sea $\alpha = a + b \sqrt{2}$ un elemento cualquiera en ${\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\text{.}$ Si $b = 0\text{,}$ entonces $\alpha$ es una raíz de $x - a\text{.}$ Si $b \neq 0\text{,}$ entonces $\alpha$ es la raíz del polinomio separable

$\begin{equation*} x^2 - 2 a x + a^2 - 2 b^2 = (x - (a + b \sqrt{2}\, ))(x - (a - b \sqrt{2}\, )). \end{equation*}$

Afortunadamente, tenemos una forma fácil para determinar la separabilidad de cualquier polinomio. Sea

$\begin{equation*} f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \end{equation*}$

un polinomio en $F[x]\text{.}$ Se define la derivada de $f(x)$ como

$\begin{equation*} f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}. \end{equation*}$

Lema22.5

Sea $F$ un cuerpo y $f(x) \in F[x]\text{.}$ Entonces $f(x)$ es separable si y solo si $f(x)$ y $f'(x)$ son relativamente primos.

Demostración

Sea $f(x)$ separable. Entonces $f(x)$ se factoriza sobre algún cuerpo de extensión de $F$ como $f(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\text{,}$ con $\alpha_i \neq \alpha_j$ para $i \neq j\text{.}$ Tomando la derivada de $f(x)\text{,}$ vemos que

\begin{align*} f'(x) & = (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\\ & + (x - \alpha_1) (x - \alpha_3) \cdots (x - \alpha_n)\\ & + \cdots + (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_{n - 1}). \end{align*}

Luego, $f(x)$ y $f'(x)$ no pueden tener ningún factor común.

Para demostrar el recíproco, mostraremos que se cumple la afirmación contrapositiva. Supongamos que $f(x) = (x - \alpha)^k g(x)\text{,}$ con $k \gt 1\text{.}$ Derivando, tenemos

\begin{equation*} f'(x) = k ( x - \alpha)^{k-1} g(x) + (x- \alpha)^k g'(x). \end{equation*}

Por lo tanto, $f(x)$ y $f'(x)$ tienen un factor común.

Teorema22.6

Para cada primo $p$ y para cada entero positivo $n\text{,}$ existe un cuerpo finito $F$ con $p^n$ elementos. Más aún, cualquier cuerpo de orden $p^n$ es isomorfo al cuerpo de descomposición de $x^{p^n} -x$ sobre ${\mathbb Z}_p\text{.}$

Demostración

Sea $f(x) = x^{p^n} - x$ y sea $F$ el cuerpo de descomposición de $f(x)\text{.}$ Por el Lema 22.5, $f(x)$ tiene $p^n$ ceros distintos en $F\text{,}$ pues $f'(x) = p^n x^{p^n - 1} - 1 = -1$ es relativamente primo con $f(x)\text{.}$ Afirmamos que las raíces de $f(x)$ forman un subcuerpo de $F\text{.}$ Ciertamente 0 y 1 son ceros de $f(x)\text{.}$ Si $\alpha$ y $\beta$ son ceros de $f(x)\text{,}$ entonces $\alpha + \beta$ y $\alpha \beta$ también son ceros de $f(x)\text{,}$ pues $\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = (\alpha + \beta)^{p^n}$ y $\alpha^{p^n} \beta^{p^n} = (\alpha \beta)^{p^n}\text{.}$ También debemos mostrar que el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de cada raíz de $f(x)$ son raíces de $f(x)\text{.}$ Para cualquier cero $\alpha$ de $f(x)\text{,}$ sabemos que $-\alpha$ también es cero de $f(x)\text{,}$ pues

\begin{equation*} f(-\alpha) = (-\alpha)^{p^n} - (-\alpha) = -\alpha^{p^n} + \alpha = -(\alpha^{p^n} - \alpha) = 0, \end{equation*}

suponiendo que $p$ is impar. Si $p = 2\text{,}$ entonces

\begin{equation*} f(-\alpha) = (-\alpha)^{2^n} - (-\alpha) = \alpha + \alpha = 0. \end{equation*}

Si $\alpha \neq 0\text{,}$ entonces $(\alpha^{-1})^{p^n} = (\alpha^{p^n})^{-1} = \alpha^{-1}\text{.}$ Como los ceros de $f(x)$ forman un subcuerpo de $F$ y $f(x)$ se descompone en este subcuerpo, el subcuerpo debe ser todo $F\text{.}$

Sea $E$ cualquier otro cuerpo de orden $p^n\text{.}$ Para mostrar que $E$ es isomorfo a $F\text{,}$ debemos mostrar que todo elemento en $E$ es una raíz de $f(x)\text{.}$ Claramente 0 y 1 son raíces de $f(x)\text{.}$ Sea $\alpha$ un elemento no nulo de $E\text{.}$ El orden del grupo multiplicativo de elementos no nulos de $E$ es $p^n-1\text{;}$ luego, $\alpha^{p^n-1} =1$ y $\alpha^{p^n} -\alpha = 0\text{.}$ Como $E$ contiene $p^n$ elementos, $E$ debe ser un cuerpo de descomposición de $f(x)\text{;}$ pero, por el Corolario 21.34, el cuerpo de descomposición de cualquier polinomio es único salvo isomorfía.

El único cuerpo con $p^n$ elementos se llama cuerpo de Galois de orden $p^n\text{.}$ Denotaremos este cuerpo por $\gf(p^n)\text{.}$

Teorema22.7

Todo subcuerpo del cuerpo de Galois $\gf(p^n)$ tiene $p^m$ elementos, con $m$ un divisor de $n\text{.}$ Recíprocamente, si $m \mid n$ para $m \gt 0\text{,}$ entonces existe un único subcuerpo de $\gf(p^n)$ isomorfo a $\gf(p^m)\text{.}$

Demostración

Sea $F$ un subcuerpo de $E = \gf(p^n)\text{.}$ Entonces $F$ debe ser una extensión de $K$ que contiene $p^m$ elementos, donde $K$ es isomorfo a ${\mathbb Z}_p\text{.}$ Entonces $m \mid n\text{,}$ pues $[E:K] = [E:F][F:K]\text{.}$

Para demostrar el recíproco, supongamos que $m \mid n$ para algún $m \gt 0\text{.}$ Entonces $p^m -1$ divide a $p^n -1\text{.}$ En consecuencia, $x^{p^m -1} - 1$ divide a $x^{p^n -1} -1\text{.}$ Por lo tanto, $x^{p^m} - x$ debe dividir a $x^{p^n} - x\text{,}$ y todo cero de $x^{p^m} - x$ también es un cero de $x^{p^n} - x\text{.}$ Luego, $\gf(p^n)$ contiene, como subcuerpo, un cuerpo de descomposición de $x^{p^m} - x\text{,}$ que debe ser isomorfo a $\gf(p^m)\text{.}$

Ejemplo22.8

El reticulado de subcuerpos de $\gf(p^{24})$ está dado en la Figura 22.9.

Figura22.9Subcuerpos de

$\gf(p^{24})$

Con cada cuerpo $F$ tenemos un grupo multiplicativo de elementos no nulos de $F$ que denotaremos por $F^*\text{.}$ El grupo multiplicativo de un cuerpo finito cualquiera es cíclico. Este resultado se sigue del resultado más general que demostraremos en el próximo teorema.

Teorema22.10

Si $G$ es un subgrupo finito de $F^\ast\text{,}$ el grupo multiplicativo de elementos no nulos de un cuerpo $F\text{,}$ entonces $G$ es cíclico.

Demostración

Sea $G$ un subgrupo finito de $F^\ast$ de orden $n\text{.}$ Por el Teorema Fundamental de Grupos Abelianos (Teorema 13.4),

\begin{equation*} G \cong {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}, \end{equation*}

donde $n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ y los $p_1, \ldots, p_k$ son primos (no necesariamente distintos). Sea $m$ el mínimo común múltiplo de $p_1^{e_1}, \ldots, p_k^{e_k}\text{.}$ Entonces $G$ contiene un elemento de orden $m\text{.}$ Como todo $\alpha$ en $G$ satisface $x^r - 1$ para algún $r$ que divide a $m\text{,}$ $\alpha$ debe también ser raíz de $x^m - 1\text{.}$ Como $x^m -1$ tiene a lo más $m$ raíces en $F\text{,}$ $n \leq m\text{.}$ Por otra parte, sabemos que $m \leq |G|\text{;}$ por lo tanto, $m = n\text{.}$ Luego, $G$ contiene un elemento de orden $n$ y tiene que ser cíclico.

Corolario22.11

El grupo multiplicativo de todos los elementos no nulos de un cuerpo finito es cíclico.

Corolario22.12

Toda extensión finita $E$ de un cuerpo finito $F$ es una extensión simple de $F\text{.}$

Demostración

Sea $\alpha$ un generador del grupo cíclico $E^{\ast}$ de elementos distintos de cero de $E\text{.}$ Entonces $E = F( \alpha )\text{.}$

Ejemplo22.13

El cuerpo finito $\gf(2^4)$ es isomorfo al cuerpo ${\mathbb Z}_2/ \langle 1 + x + x^4 \rangle\text{.}$ Por lo tanto, los elementos de $\gf(2^4)$ se puede tomar como

$\begin{equation*} \{ a_0 + a_1 \alpha + a_2 \alpha^2 + a_3 \alpha^3 : a_i \in {\mathbb Z}_2 \text{ and } 1 + \alpha + \alpha^4 = 0 \}. \end{equation*}$

Recordando que $1 + \alpha +\alpha^4 = 0\text{,}$ sumamos y multiplicamos elementos de $\gf(2^4)$ exactamente como sumamos y multiplicamos polinomios. El grupo multiplicativo de $\gf(2^4)$ es isomorfo a ${\mathbb Z}_{15}$ con generador $\alpha\text{:}$

$\begin{align*} & \alpha^1 = \alpha & & \alpha^6 = \alpha^2 + \alpha^3 & & \alpha^{11} = \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 &\\ & \alpha^2 = \alpha^2 & & \alpha^7 = 1 + \alpha + \alpha^3 & & \alpha^{12} = 1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 &\\ & \alpha^3 = \alpha^3 & & \alpha^8 = 1 + \alpha^2 & & \alpha^{13} = 1 + \alpha^2 + \alpha^3 &\\ & \alpha^4 = 1 + \alpha & & \alpha^9 = \alpha + \alpha^3 & & \alpha^{14} = 1 + \alpha^3 &\\ &\alpha^5 = \alpha + \alpha^2 & & \alpha^{10} = 1 + \alpha + \alpha^2 & & \alpha^{15} = 1. & \end{align*}$